Vecto chỉ phương là gì? Vecto chỉ phương trong Toán 10 là kiến thức trọng tâm đưa ra phương pháp và ví dụ cụ thể giúp học sinh THPT ôn tập, đồng thời củng cố kiến thức về dạng toán phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy. Dưới đây là tài liệu chi tiết và bổ ích nhất về vecto chỉ phương, mời bạn theo dõi và tham khảo!
Contents
- 1 Vecto chỉ phương là gì?
- 2 Lý thuyết mở rộng về phương trình đường thẳng
- 2.1 1. Hệ số góc của đường thẳng
- 2.2 2. Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng không gian
- 2.3 3. Phương trình tổng quát của 1 đường thẳng ở trong mặt phẳng tọa độ
- 2.4 4. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng ở trong không gian
- 2.5 5. Góc giữa 2 đường thẳng
- 2.6 6. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm cho đến một đường thẳng
- 3 Một số bài tập vận dụng vecto chỉ phương
Vecto chỉ phương là gì?
Cho đường thẳng Δ, ta có u # 0 là vecto chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng Δ. Vậy giá của một vecto là gì? Giá của một vecto là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vecto đó.
Các công thức để xác định vecto chỉ phương của đường thẳng:
- Nếu u là vecto chỉ phương của Δ thì ta có k (với k#0) là một vecto chỉ phương của Δ. Do đó, một đường thẳng sẽ có vô số vecto chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn có thể xác định nếu biết 1 điểm thuộc nó và vecto chỉ phương của đường thẳng đó.
- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, nên nếu Δ có một vecto chỉ phương là u = (a;b) thì n = (−b;a) là một vecto chỉ phương của Δ.
Lý thuyết mở rộng về phương trình đường thẳng
Lý thuyết phương trình đường thẳng là chủ đề quan trọng trong đại số và hình học, giúp hiểu rõ về cách xác định và biểu diễn các đường thẳng trong không gian. Theo đó, bằng cách sử dụng vectơ chỉ phương thì bạn có thể tìm ra các đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước; đồng thời giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến đường thẳng.
1. Hệ số góc của đường thẳng
Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b hay ax – y – b = 0. Ta có:
- Hệ số góc của đường thẳng d chính là a.
- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n = (a, -1)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (1, a)
2. Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng không gian
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận u = (a; b) là vecto chỉ phương.
⇒ Với t R, phương trình tham số của đường thẳng Δ sẽ có dạng:
3. Phương trình tổng quát của 1 đường thẳng ở trong mặt phẳng tọa độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và nhận n = (a; b) là vectơ pháp tuyến.
Với mỗi điểm M (x; y) thuộc mặt phẳng Oxy, ta có: MM₀ = (x – x₀; y – y₀)
Khi đó, M (x; y) Δ n MM₀
a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0
ax + by + c = 0 với c = –ax₀ – by₀
Vậy phương trình ax + by + c = 0 (1) với a, b#0 sẽ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng Δ.
Các trường hợp đặc biệt:
- a) Nếu a = 0, phương trình (1) trở thành by + c = 0 hay y = – cb
Khi đó, Δ vuông góc với trục Oy tại điểm (0;- cb)
- b) Nếu b = 0, phương trình (1) trở thành ax + c = 0 hay y = – ca
Khi đó, Δ vuông góc với trục Ox tại Δ vuông góc với Ox tại điểm (- ca; 0)
- c) Nếu c = 0, phương trình (1) trở thành ax + by = 0.
Khi đó, đường thẳng Δ sẽ đi qua gốc tọa độ 0.
- d) Nếu a, b, c #0 thì ta có thể đưa phương trình (1) về dạng: xa₀ + yb₀ = 1 với a₀ = – ca, b₀ = – cb. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, còn đường này cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm M(a₀; 0) và N(0; b₀).
4. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng ở trong không gian
Xét 2 đường thẳng Δ1 và Δ2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0
Tọa độ giao điểm của Δ1 và Δ2 sẽ là nghiệm của phương trình sau:
Ta có các trường hợp sau đây:
- Hệ phương trình (I) có một nghiệm (x₀;y₀) thì Δ1cắt Δ2 tại điểm M₀(x₀;y₀).
- Hệ phương trình (I) có vô số nghiệm, khi đó Δ1 trùng với Δ2.
- Hệ phương trình (I) vô nghiệm, khi đó Δ1 và Δ2 không có điểm chung hay Δ1 song song với Δ2.
5. Góc giữa 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng Δ1 và Δ2 lần lượt là a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0. Góc giữa 2 Δ1 và Δ2 được kí hiệu là (Δ1,Δ2) hoặc (Δ1,Δ2).
Đặt cosφ = (Δ1, Δ2); ta thấy φ bằng hoặc bù với góc n₁ và n₂. Trong đó n₁, n₂ lần lượt là vectơ pháp tuyến của Δ1 và Δ2. Vì cosφ≥0, ta suy ra:
6. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm cho đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M₀(x₀;y₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến đường thẳng Δ ký hiệu là d(M₀,Δ) sẽ được tính bằng công thức sau:
Một số bài tập vận dụng vecto chỉ phương
Các tính chất của vecto chỉ phương xuất hiện xuyên suốt trong các bài tập tổng hợp về phương trình đường thẳng. Do đó, các bạn học sinh cần phải nắm vững nội dung định nghĩa, tính chất của vectơ pháp tuyến để áp dụng vào các dạng toán cụ thể.
Bài 1: Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua 2 điểm A(-3; 2) và B (1; 4)?
Đáp án: B
⇒ Lời giải:
Đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B nên nhận AB = ( 4; 2) làm vecto chỉ phương.
Lại có, AB = ( 4; 2) và u = ( 2;1) là 2 vecto cùng phương nên đường thẳng AB sẽ nhận u = ( 2;1) là vecto chỉ phương.
Bài 2: Vectơ chỉ phương của đường thẳng x = 2+3t và y = -3-t = 1 là:
Đáp án: B
⇒ Lời giải: Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát: 2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có vecto pháp tuyến là n = (2; 3)
⇒ Vecto chỉ phương là n = (3; -2)
Bài 3: Vectơ nào dưới đây là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1).
Đáp án: C
⇒ Lời giải: Đường thẳng AB nhận AB = ( 2; -2) làm vecto chỉ phương nên đường thẳng d nhận n = (1; 1) làm vecto chỉ phương.
Bài 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox.
Đáp án: A
⇒ Lời giải:
Trục Ox có phương trình y= 0 nhận n = ( 0;1) làm vecto pháp tuyến.
⇒ Đường thẳng này nhận u₁ = ( 1; 0) làm vecto chỉ phương.
⇒ Một đường thẳng song song với trục Ox cũng có vecto chỉ phương là u₁ = (1; 0).
Bài 5: Cho đường thẳng d đi qua 2 điểm A( 1; 2) và điểm B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận u₁ = ( 1; 3) làm vecto chỉ phương?
Đáp án: A
⇒ Lời giải: Đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B nên đường thẳng d sẽ nhận AB = (1; m – 2) làm vecto chỉ phương.
Lại có, u = ( 1; 2) làm vecto chỉ phương của đường thẳng d.
⇒ u và AB cùng phương nên tồn tại hệ số k sao cho: u = k AB k = 1 và m = 5
Bài 6: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:
Đáp án: B
⇒ Lời giải: Gọi d là trung trực đoạn AB
⇒ d AB.
⇒ AB ( 0;1) là vecto chỉ phương của đường thẳng d.
Bài 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b).
Đáp án: B
⇒ Lời giải: Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.
Bài 8: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?
Đáp án: B
⇒ Lời giải: Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n (1;0) làm vecto chỉ phương.
⇒ Đường thẳng x= 0 nhận u ( 0; 1) làm vecto chỉ phương.
⇒ Đường thẳng song song với Oy cũng có vecto chỉ phương là u’ (0;1).
Trên đây, chúng tôi đã cung cấp đến bạn đọc thông tin cho câu hỏi vecto chỉ phương là gì cùng các bài tập vận dụng. Mong rằng tài liệu này đã giúp các bạn học sinh nắm chắc kiến thức, đồng thời vận dụng tốt để giải bài tập môn Toán lớp 10.
Tôi là Phạm Xuân Thanh – Tôi đã có kinh nghiệm hơn 3 năm review đánh giá về các loại máy móc công nghiệp, thiết bị vệ sinh công nghiệp, cách chăm sóc xe hơi. Tôi hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ có thể giúp mọi người hiểu rõ hơn về các công dụng, chức năng của các loại thiết bị công nghiệp và các cách chăm sóc xe hơi này.
